数学」カテゴリーアーカイブ

第704回~第706回全国自治宝くじはどれが最もよいか?を数学で考える

いよいよ年末がやって参りました。一年というのは長い人もいれば短い人もいると思います。しかも年を重ねるごとにどうも短くなっているような気がしてならないきょうこのごろです。一応「今年度末」にはとあることでプロフィールが必ず書き換わる予定なので。

それは置いておいて。今回はちょっと曖昧な題名で考えてみます。数学の確率ネタというところです。ただ、確率の要素はかなり低く中学生でも考えることができる話なので興味がある数学の先生は数学の題材に、その他学校で何か考えるときの題材にでもしてみてください。

 

しかし、年末ジャンボが3種類も発売されるとは…

2種類ある、というのはこの頃だと普通にあったのであまり気にしていなかったのですが3種類というのはなかなか面白いです。しかもネーミングがまた面白い。「ミニ」を使ってしまったものだから最も一等賞金が少ないジャンボ宝くじに「プチ」を名付けるというのがまた、です。

ちなみに当たり前の話ですが買わないという選択肢を選ばなかったとしたときに最大級の夢を追いかけるのであれば何も考えずに1等賞金が最大の第704回のジャンボを選択すると思いますし高齢の方で1000万円でも当たればいいな~と考えている人なら第706回のジャンボプチを選択するはたぶん正しいと思います。そうすると問題は第705回のジャンボミニがどういう立ち位置になるのか、は大いに気になるところですが…。

 

では、問題です。

今回はこんな感じ。

2016年の年末ジャンボ宝くじでは3種類の宝くじが発売される。第704回の年末ジャンボ宝くじ、第705回の年末ジャンボ宝くじミニ、第706回の年末ジャンボ宝くじプチ、である。この宝くじをもし購入するのであれば最もよいのはどれか?どの宝くじの期待値が最も高いかを考えることにより答えなさい。ただし、計算においては公式に発表されているくじが最大限売れた場合のユニット数および当たり本数を用いるものとする。

公式でも発売総額とユニット数、当たり本数はそれぞれの宝くじで異なるのでこれを合わせないと計算ができないのが微妙なトリックです。一応すべて一枚300円なので発売額がすべて同一だった場合で考えるかそのまま考えるかは自由です。

 

一応総額表記のまま計算してみると…

ちょっと面倒なので表記には指数表記を用いています。今回は電卓の手計算を行いましたので間違えないようにENGを用いて接頭辞であるM(106)やG(109)という表現を用いています。普通あり得ない表記をしていますが、換算式を書いておくと1M円は100万円、1G円は10億円となります。この辺104を区切りとしている金額と103を区切りとしているカンマ区切りの本数で混同するのが面倒なところです。

まずは第704回の年末ジャンボ宝くじから。発売総額はユニット数を25として1,500億円=150G円。1ユニットは2,000万枚と表記されています。以下その場合で期待値を求めるため各等における総支払額を計算をしていきます。

等級 一本当たりの金額 本数 総支払額
1等 7億円=700M円 25本 700M×25=17.5G円
1等前後賞 1億5,000万円=150M円 50本 150M×50=7.5G円
1等組違い賞 50万円=0.5M円 4,975本 0.5M×4975=2.4875G円
2等 1,500万円=15M円 500本 15M×500=7.5G円
3等 100万円=1M円 5,000本=5k本 1M×5k=5G円
4等 1万円=10k円 500,000本=500k本 10k×500k=5G円
5等 3,000円=3k円 5,000,000本=5M本 3k×5M=15G円
6等 300円 50,000,000円=50M本 300×50M=15G円
合計 67.4875G円

となります。ENG表記で書くことで乗算の桁を間違えないように書くことがある程度可能となります。よって一枚のくじによって得られる金額の期待値は

67.4875G÷150G×300=134.975(円)

というように計算できます。残りも計算していきます。第705回の年末ジャンボ宝くじミニだと、発売総数はユニット数を15として45G円、1ユニットは10M枚で

 

等級 一本当たりの金額 本数 総支払額
1等 100M円 105本 100M×105=10.5G円
2等 1M円 3k本 1M×3k=3G円
3等 3k円 1.5M本 3k×1.5M=4.5G円
4等 300円 15M本 300×15M=4.5G円
合計 22.5G円

よって一枚のくじによって得られる金額の期待値は

22.5G÷45G×300=150(円)

第706回の年末ジャンボ宝くじプチだと、発売総数はユニット数を10として30G円、1ユニットは10M枚で

等級 一本当たりの金額 本数 総支払額
1等 10M円 1k本 10M×1k=10G円
2等 10k円 200k本 10k×200k=2G円
3等 300円 10M本 300×10M=3G円
合計 15G円

よって一枚のくじによって得られる金額の期待値は

15G÷30G×300=150(円)

となる。以上より2016年の年末ジャンボにおいてはミニとプチの期待値は変わらず一等賞金が最も大きい年末ジャンボ宝くじの期待値だけ微妙に低いため、期待値だけを考えるのであればミニおよびプチでよい。一等賞金を大きくするのであればミニを考えてもよい、という結論となる。

でしょうか。ちなみにこれで見てわかるように宝くじの還元率は50%位に設定されているらしく競馬の還元率では75%~80%になることを考えると少し分の悪いギャンブルといえると思います。まあこのあたりはギャンブルでも何を求めるかによって異なるのでその人自身が(数学とかにかかわらず)考えるとよいと思います。

 

夢をおいかけるぞ~

これが実は今年の目標だったりします。3年計画の最後の年でやっと(別の)夢も見えてきているところでもあるので。またくじによる夢の追いかけは意外と精神的に支えになっているパターンもあるのかも、と思うと面白いですよね。数学で考えると夢のない話になってしまうのが悲しいですが。

 

数学は「考え方を学ぶ」ものではないかな~と考える

はてなダイアリーを使っていることからわかると思いますが基本的にはてなのトップページに来ている内容についてはいろいろとみています。で、その中でちょっと考えされる記事があったので二つほどあげて私の考えも書いておきたいと思います。

 

数学を勉強できなくなったので休学をすることに決めた – Diary over Finite Fields

「数学は役に立つ/立たない」について思うこと  – Imaginary & Imaginative

 

ちなみに下に書いている内容は上記2つの記事とはあまり関係がないかもしれませんのであしからず。

 

「面白い」と思う人と「訳がわからない」と思う人がはっきり出てしまう(と思う)

ちなみに私は一応工学側の人間(のつもり)なので数学とは少し遠い場所にいた・・・つもりなのですが。いろいろと勉強しまして純粋数学に関しても応用数学に関してもそれなりの知識を得た人間です。上の記事を書いているお二人は両人とも数学の修士課程のようですが、資金と暇があれば数学で修士をとりたいな~とは考えたことがあります。まあ、それは置いておいて。

個人的には数学はほかの学問に比べて妙に体系ががっちりとしていてある一部分だけを知りたい、と思ってもその基礎となる部分を掘り下げて理解しないと意味がほとんどとれないという性質が大きいと考えています。

例として一つあげますと、元々私が工学でやっていたのは情報系で特に暗号系に関して興味があったのでその部分に関する数学を勉強していたのですがはっきり言って訳がわからなかったです。RSA暗号もその一つでRSA暗号自体は基本情報技術者試験あたりにでも出てきそうなくらい一般的な暗号方式でプログラムとして実装する分にも計算方法は公開されているので多倍長整数が使えればそれほど難しいことはないです。・・・が、その根拠となっている理由を数学的に理解しようとするといったいどこまで基礎にたどればよいのかその時点では全くわからない状態でした。そのため情報工学としてRSA暗号を理解したときには「こういう方法を使えばうまくいくよ」程度の意味しかなかったです。

これがとある理由から代数学を基礎からやり直すことで群・環・体の定義からその定義より得られる各種定理、暗号系の基礎となる剰余環の話や中国剰余定理、オイラーの定理、体の拡張などに関して学ぶことで初めてなぜRSA暗号が成立していたのか、という話を理解することができました。これに関しても結局は代数学という数学の分野のある意味基礎となっているところからやっていたので理解するのは大変ですが理解できてしまえばかなり面白いな~というのは感じています。

ここで重要になるのは「そういう基礎の部分から学んでいく中でそれぞれの定理がどのような働きをしているかを見ることで自分の中で意味をつけていく」ことができるかどうか、またその行為に面白さを感じるかどうかが数学という分野における学習のモチベーションの一つになるのでは?というのが私の意見です。これは私は数学の分野のうち代数学、それも整数論を得意としておりその理由が「応用することで情報工学の分野につながっていることを知っており、それを自身のプログラムに今後生かせることがわかっているから」だったから面白いと考えて取り組めたのであり、単に代数学をなんとなくで学んでいると途中から体系の意味がとれなくなって・・・ということがありうる、ということでもあります。まあ、数学上の問題を計算機のプログラムとして表現して調べるということも好きなのも関係しているでしょうがね。

 

体系づけられているだけに「わからない」が拡大していってしまう

算数や数学で苦手意識を持つのはこのことが多いのでは?と思います。たとえば中学校だと正の数負の数は図形関係を除いてはその後でこれができないと全くといっていいほど理解ができなくなります。無理矢理負の数が出て来ないようにできるか?といわれるとおそらく不可能だと思います。で、わからないと問題が解けなくなる。解けなくなるとやる気を失ってしまうし先生からはしかられる。親からもテストの点数で怒られる。なんてことが連続していくといやになりますよね~。そうなれば「わかりません」の回答だけしかないですね。

もちろん、大学レベルでも同じだと思います。特に研究なんかで「自分が何を理解できていないか」を理解していないと進めないのはどの研究でも同じですが、数学としてそれがどのレベルの基礎なのかを考えられないとかなり厳しいと思います。

 

数学は学校教育として考えるなら「考えるための勉強」なんだろうな~と思う

数学は今現在自分が知っていることから拡張を自分自身で考えることができることができるのも特徴だと聞いたことがあります。たとえば1次方程式を学習した中学生なら「なら文字が増えたらどうなるのか?、1次じゃなくなったらどうなるのか」を(解けなかったとしても)考えることはできますし、2次方程式の解の公式を学習した後ならば「それ以上の次数になったときに解の公式はあるのだろうか」ということを興味がある人なら少しは考えることがあるものだと思います。これは数学に興味を持っている人が考えることかもしれませんがもちろん普通の問題でも「どうすれば自分が知っている(あるいは簡単な)計算方法に持って行くことができるだろうか」ということを考えて解くことは多いと思います。これらは暗記系ではあまりない発想だと思います。教えるときでも間違っていてもいいから一度問題をやってみて先生がやり方について解説する、なんてパターンはよくある話ですし、こういうところがその性質をよく持っているのでは、と思いました。

 

そういえば誰かから聞いたことがありますが一言だけ名言を。

大学の学問では理科は数学となり数学は哲学となる

特に純粋数学を突き詰めていくといつの間にか哲学の領域に突っ込んでいくんですよね・・・。有名なのが「(自然数において)なぜ1+1=2なのか」ですか。これもペアノの公理が成立しているなら・・・、とかいう話になってきますからね。ちなみにペアノの公理が成立していない環境ならば1+1=2とはなりません。これは私の過去記事でも書きましたので興味がある方は一度見てみるといいかもしれません。

まあいろいろと考えることがあるとは思います。上で紹介した記事の方で前者の方は一度休学するようですので(私などが言うのもおこがましいことかもしれませんが)休学の期間でいろいろなことを見てくるとよいと思いますのでどうするにしても頑張ってほしいと思います。

 

数学的にでも「1+1=2」とは限らない・・・

ちょっととある場所で話題になっていた小学生などで「なぜ1+1=2となるのか?」に対して頑張って回答していた人がいましたのでその人に向けて追記を一つ。それは数学的にまじめに考えたときに実は「1+1=2」とは限らない、ということです。

 

こいつはいったい、ど、どういうことだ?

ギャグではありませんよ。数学的にそういうことができる状態は普通に存在します。それはどういう状態かというとこれらを定義しているのが剰余環(この場合は体)となるや体の拡大で現れる(qは自然数)である場合です。を考えると小学生がわかるように演算規則を書くなら(正確な定義とはちょっと違いますが計算方法は同じなので目をつぶってください)

0と1のみを使って行う演算で四則演算を行うときは整数(小学生風にいうなら普通の数)だと思って演算を行った後演算結果が偶数になったら0、奇数になったら1とする。つまり演算後に2で割ったあまりを取ってその結果を演算結果とする

とします。こうすると実は四則演算において演算結果はすべて正しく定まります。で、こうすると「1+1」の結果は・・・0になるわけです。つまり「1+1=2」とならない演算が大まじめな数学上で存在しています。

このあたりは環や体の話で出てくるので大学で代数学を学んでいれば当たり前だと思います。また情報系であれば「2進数の演算を考えると・・・」でも意味が通じるのではないでしょうか。ちなみにこんな演算どこで使うか?というと符号理論や暗号理論で使います。そのためとても重要なものでもあります。

 

そもそも前提が共有されていないからこんなことが起こる

上の例は端的な例ですが、もっと一般的なことをいうと「1+1」という式を考えるとこんな状態であれば数学的には(これ以上考えることに意味がなくても)有効です。

  • 左辺の「1」はある集合Aの元である。
  • 右辺の「1」はある集合Bの元である。(このとき、BとAに関連性はあってもなくてもよい)
  • 演算子の「+」は集合Aの任意の元aと集合Bの任意の元bに対してある集合Cに対して定まる写像である。(このとき、CとA,Bに関連性はあってもなくてもよい)

小学生の場合、「1+1」の演算を行う場合、算数などの通常であれば以下が暗黙に定まります。

  • 左辺の「1」および右辺の「1」は自然数の集合である
  • 演算子の「+」は上記の集合に対してペアノの公理が定まっているためそれによって定まる写像とする

ということで算数上では「1+1=2」が導かれます。が、ひねくれるとこんなことができます。

  • 左辺の「1」および右辺の「1」は自然数の集合である
  • 演算子の「+」は二つの自然数から漢字の集合Kに対する写像であり、この写像をfと書くとき「f(1,1)=”田”を満たす」とする
  • 以上のように定義を行うと数学的には「1+1」に対して「田」という回答が有効になる場面を作ることができる

ということでなんと数学的に間違いとはいえない状態で「1+1=」に対して小学生でよくからかわれる演算結果「田」が正しい、という状態を作ることができてしまったわけです。なお、だからといってこのとき他の演算結果については「知りません」もしくは「適当に定めてください」としか回答しようがありません。まあ、左辺の集合と右辺の集合をもう少し絞ればなんか有効な演算となるかもしれませんがそれに意味があるかどうかは私も知りません。

 

という無駄知識をあなたへ

なので、無理矢理ですが「1+1の結果は大きな1だ」とすることは不可能ではありません。その場合は「じゃあ他の計算結果はどうすればいい?」と返してみるとその子の考え方が見えるのではないでしょうか。もしかすると数学の天才への第一歩なのかもしれませんね。

やってみたい数学ネタ「壬申の乱は何年に起こった?」

題名が矛盾しているようですが、実はこれ、数学である程度求めることができるのが笑えるんですよね・・・。中学校あたりの授業で誰かやってくれないかな・・・とか思っています。誰か指導案でも作ってその授業が録画されているのであれば是非見させてください。まあ、確率と期待値の話で宝くじを使ったものを学習指導案で書く方がまだ現実的かな~とは思いますが。

 

このネタは今年(2016年)が申年だからこそできる

実はこれがキーワード。干支を聞いたときに「サル年」とは答えられるのですが、この「申」という漢字が出てこないのが痛いところ。これを絡ませることができれば大変面白い話ができそうなのに・・・というのがはじめです。一応この話は60進法の話として使ってその後にn進法(2進法や12進法が身近にある)でつないでいけばおそらくきれいに授業が構築できるのでは、と考えています。

 

初期の話題設定

おそらく社会の時間で年号まで含めてやっているような気はしますがそれでも改めて聞かれると答えづらいと思います。最初のお題はこんな感じ。

壬申の乱は何年に起こったでしょうか。次の4のうちから答えなさい。

  1. 657年
  2. 673年
  3. 679年
  4. 682年

・・・わかる人はわかると思いますが、実はこの中には回答はありません。正しい回答は「672年」です。中学生の授業で出せば誰かこれを指摘するのではないかと思います。で、ここから「なぜこの中に回答がないといえるのかを数学で考えてみよう」と持って行くわけですね。

 

「壬申の乱」が起こったときの干支も「申年」だ、が分かれば答えが出せる

はじめの段階ではこの「壬申」が十干十二支で表された年号という話はわからないだろう、ということで流れとして、

  1. Q. 今年は何年? A.2016年
  2. Q. 今年の干支は? A.さる
  3. Q. 干支での「さる」は漢字でどう書く? A.「申」
  4. Q. 「壬申」と「申年」につながりがありそうでは? A.ありそう
  5. Q.もしかして「壬申」は申年の出来事では? A.そうか!

という感じで壬申の乱が申年だ、ということを考えさせて、そうするともし申年ならば干支は12年周期(ここに12進法に近い考え方が表れる)だから、2016-(壬申の乱が起こった年)は12の倍数になる、しかしはじめの問題の選択肢だとすべて当てはまらない(そもそも選択肢1~3は奇数なのであり得ない、選択肢4は2016-682=1334となり3の倍数ではないため12の倍数ではない)、よって数学的に選択肢の中に答えがない、という結論が得られるわけですね。

 

後は十干十二支の話から「壬申の乱が何年だったかを考える」へともっていく

ちなみに2016年は「丙申」なので、24年前の1992年が一つ前の「壬申」になります。あとは60進法の考え方から壬申の乱は1992年から60の倍数だけ戻した年にあるので選択肢から見てだいたい650~680年だとするなら、その中にある「壬申」は?となって672年を出す、ということができます。まあ、基準となる年をいくつか知っていればこの手の問題はやりやすいですね。十干十二支で考えたときに西暦だと60の倍数になるのは「庚申」だ、とかですか。(ここを知っているだけで壬申の乱の年は西暦では12の倍数になることが確定してしまう)ちなみに、日本史や中国史の中でこの手の年号で表される事件というのはすべてこのやり方で求めることが可能です。60年周期なので60年単位でしか間違えませんし。それで間違えたらもうどうしようありません・・・。また、十二支は記憶しやすいですが十干が記憶しづらいのがなんともいえませんが。最後に還暦の言葉の由来が干支で年号を考えたときに一周することから来ている、というところまで来れば国語との関連もばっちり、というところですか。

 

実は12進法でも楽しめる

12進法は学校の身近にあるものでできるのが楽ですよね。上記での干支が有力な例ですし、時計を使うのも手ですし、音楽の音階を使うのも手です。普通にダースで数えるやり方を使ってもいいですからね。私は音楽の音階を使ったものが面白そうと考えているのですが、実際にどうなるか想定してみないとよく分からないところですか。というところで、今回の数学ネタでした。どちらかというと教材に近いかもしれないですね。

 

あまりに関するとある問題の考え方

というわけでなぜかこんな話題。数学の話題としては代数学の知識で解答できるので例題から。いわゆるあまりに関する問題です。

Q. 7で割ると3あまり、11で割ると5あまり、13で割ると4余る数は1から1000までの間に何個あるか答えなさい

似たような問題はほかにも作れます。たとえば

Q. 4で割ると1あまり、7で割ると4あまる数は1から400までの間に何個あるか答えなさい

のようなものです。小学生向けの問題として出てくることも多そうな問題ですが・・・。

 

問題の一般系はこんな感じ

一般化するとこの問題に共通する前提条件を書かなければならないので解法がわかりやすくなります。上記の問題の一般系はこんな感じですね。

x1で割るとr1あまり、…、xnで割るとrnあまる数は0からmまでの間に何個あるか答えなさい。ただし、x1からxnは互いに素とする。

このときに重要なのは一般化することで現れた条件「ただし、x1からxnは互いに素とする」が鍵になります。この条件があるととある定理が使えるため簡単な解答となるわけです。ちなみに「互いに素」の意味がわからない人であれば「どの2個に対しても最大公約数は1となる」とすれば小学生でもわかると思います。

 

一般化した問題の解答は?

こんな感じになります。中学生以下だと読み取るのは難しい回答かも。

中国剰余定理よりx=x1×x2×…xnとするとき、0からx-1までには対象となる数はただ一つ存在する。この数をyとするとき、問題の状態に当てはまる数はlx+y(ただしlは正の整数)の形となる。よって、m=qx+r(ただし、qとrは整数であり0<=r<xを満たすものとする)となるとき、y<=rであるときには対象の数はq+1個存在し、そうでないときには対象の数はq個存在する。

中国剰余定理を使うとこんな感じの解答になります。数え始める数を0にしてあるおかげで意外ときれいな解答になりました。

 

で、例題の解答ですが

それはこんな感じ。はじめの問題では

Q. 7で割ると3あまり、11で割ると5あまり、13で割ると4余る数は1から1000までの間に何個あるか答えなさい

A. 7×11×13=1001であり、7、11、13は互いに素だから中国剰余定理より0~1000までに対象の数は一つ存在する。0はすべての数であまりが0となるが問題文よりそれはあり得ない。よって1から1000までの間には1個のみ存在する。

後の問題では

Q. 4で割ると1あまり、7で割ると4あまる数は1から400までの間に何個あるか答えなさい

A. 4×7は28であり、4と7は互いに素だから中国剰余定理より0~27までに対象の数は一つ存在する。これを拡張すると400÷28=14…8となることに注意すると、まず問題文より0はあり得ない。同様に1~8までで考えるとどの数も問題文の条件には当てはまらない。よって28×14=392から28×14+8=400までには対象の数は一つも存在しない。よって1から400までの間には14個存在する

となります。中国剰余定理を用いるとこの手のあまりに関する問題があっさり解けてしまうのが面白いところですね。