宝くじの確率問題解答編(数学遊び)

というわけで宝くじの確率問題の解答編です。確率に関して少し分かっているなら意外と簡単に解答が出ます。ちなみにこの問題を解くときに宝くじに関するちょっとしたおもしろい結果も出てきますのでそれも合わせて。

 

問題を思い出してみよう

今回、解いてみる問題はこんな感じの問題です。

今現在、宝くじを五口購入する。宝くじはn個の数字から一つを選択する形式で、同じ番号が選ばれたときのみあたり、それ以外をはずれとする。宝くじの当選番号は数学的に等確率で選ばれ偏りはないものとする。宝くじの一口の値段をx円、一回における自分を除く(平均の)宝くじの購入口数をk口、宝くじ当選金の還元率をp(0<p<1)とし、当選した口数に応じて分配するものとする。このとき、

  • 宝くじを一回で五口分ばらばらの数字を選んで購入し、残り四回を無視する
  • 宝くじを一回で五口分同じ数字を選んで購入し、残り四回を無視する
  • 宝くじを一口ずつ五回に分けて購入する

のいずれが期待値が大きくなるか、実際に期待値を計算することで求めなさい。なお、nおよびkは十分大きいものとする。

一応現在存在する宝くじを模した物です。n=1000の時はナンバーズ3、n=10000の時はナンバーズ4に関する問題だと思ってもらえばいいです。さて、これに関して「当選番号が本当に数学的に等確率なら」どんな結果になるのでしょうか。

 

まず、期待値を計算するまでに必要な各項目を「一般的な状態で」計算する

つまり、自分が何もしていない状況下においては宝くじ一口分の期待値を計算してみよう、というわけです。なお、以下はtexが面倒なのでテキストで書きます。

項目名 説明および計算式 数式
当選確率 起こりうる全体の個数nの逆数 1/n
宝くじの総額 一口あたりの金額×全体の購入口数 xk
全配当金額 宝くじの総額×還元率 pxk
当選本数(推定) 全体の購入口数×当選確率 k/n
一口あたりの配当 全配当金額÷当選本数 pxn
期待値 一口あたりの配当×当選確率 px

 という感じで期待値を計算していきます。確率や統計に関して勉強した人なら難しいことは無いと思います。勉強したことがない人であれば「こうなる」ということで納得してください。

で、この数式の計算の中でおもしろいのが「理論上の一口あたりの配当は還元率、一口あたりの金額、当選確率によって決まり、(仮定した)全体の購入口数には依存しない」というところにあります。これが成立するからこそ「数学的に等確率であると仮定したとき」ナンバーズやロトの「理論上の当選金額」が決定できるわけです。ちなみに、選び方は多少違いますがロト系でもこの式の形は同じになりますので購入するときに使うマークシートの裏にかいてある「理論上の当選金額」から対象の等級における還元率を計算することが簡単にできます。基本的に知りたくない情報ではあったりしますが。

 

これを各パターンに当てはめて計算してみる

行と列を入れ替えますが、それぞれで計算していきます。

購入方法 当選確率 一回の宝くじの総額 全配当金額 当選本数 一口あたりの配当 (自分が持つ)当選可能口数 期待値
1回でばらばら 5/n x(k+5) px(k+5) (k/n)+1 pxn(k+5)/(k+1) 1 5px(k+5)/(k+n)
1回で同一 1/n x(k+5) px(k+5) (k/n)+5 pxn(k+5)/(k+5n) 5 5px(k+5)/(k+5n)
5回分を一口ずつ 1/n x(k+1) px(k+1) (k/n)+1 pxn(k+1)/(k+n) 5 5px(k+1)/(k+n)

というわけで解答は「1回でばらばらに購入するのが最も期待値が高い」でした。

なお、期待値を最後まで計算してみるといいですが、順序はk,nには基本的に依存せず一定です。また、自分が関与した分を計算に入れているので期待値の部分にまでkが入ることになります。計算中に近似で飛ばすと訳が分からないことになりますので数学の計算としては注意が必要ですね。

 

数学的な期待値と感情的な期待値って違うよね・・・

ただ、見れば分かりますが「1回でばらばら」と「5回分を一口ずつ」の期待値の差はほとんどありません。なので、宝くじに対する期待を長く持ちたいのなら後者の方が「感情的には」有利だと思います。また、「1回で同一」だと当選したときと当選しなかったときの落差が大きいので当選口数が多いもの(=当選確率が高いもの)でないとかなり損になることが多いです。ギャンブル的には違った意味でおもしろいかも知れませんが。

また、これらはあくまで「数学的に見たときの期待値」に関する結論であり、「当選金額に対する・・・」とかは考えていませんのし、通常の宝くじのように「当選金額が固定されている」ものには必ずしも適応される物ではありませんのでご注意を。考え方は全く同じですがね。でも夢は追い続けたい物ですし。

 

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