なんかちょっと思いついてしまったので問題にしてみます。おそらく中学校レベルの数学知識でも答えられる様な問題です。下手をすると数学的な知識なしで感覚だけでも答えを導ける問題です。
というわけで問題
今現在ある宝くじを想像するためにちょっとわかりやすい問題にしてみます。こんな問題です。
今現在、宝くじを五口購入する。宝くじは自分もしくは機械で数字を選択する形式によるものでどの数字の出現確率も数学的に等確率であるとする。また、当選した場合、当選金額はそのときの宝くじの購入金額に比例した金額が支払われるとする。このとき、
- 宝くじを一回で五口分購入し、残り四回を無視する
- 宝くじを一口ずつ五回に分けて購入する
のどちらの方が期待値が大きいか理由をつけて答えなさい。(期待値=すべての等級における当選金額×確率の和)
というものです。数字選択式の宝くじ(キャリーオーバーなし)を簡単に定義するとこんな感じですよね。今回は等級を考えなければならない、とは定めていませんが、単純に「あたり」と「はずれ」だけだと思って回答すると簡単だと思います。等級があり、かつ自分で数字を選択する場合に限りちょっと難しくなりますがそれでも基本的な考え方は同じです。
この問題を考えるとちょっと悲しいことが分かる
ちょっと考えてこの答えを出してしまうと微妙な感じになるのは私だけではないでしょうね・・・と思いながら。
09/24 追記
問題自体はこれでいいのですが、あまりにも数学的でないのと問題の仮定があいまいすぎるような気がしたので数学の問題っぽくしてみます。必要と思われる定義はすべてだしますので説明するときはこちらの問題で説明します。
今現在、宝くじを五口購入する。宝くじはn個の数字から一つを選択する形式で、同じ番号が選ばれたときのみあたり、それ以外をはずれとする。宝くじの当選番号は数学的に等確率で選ばれ偏りはないものとする。宝くじの一口の値段をx円、一回における自分を除く(平均の)宝くじの購入口数をk口、宝くじ当選金の還元率をp(0<p<1)とし、当選した口数に応じて分配するものとする。このとき、
- 宝くじを一回で五口分ばらばらの数字を選んで購入し、残り四回を無視する
- 宝くじを一回で五口分同じ数字を選んで購入し、残り四回を無視する
- 宝くじを一口ずつ五回に分けて購入する
のいずれが期待値が大きくなるか、実際に期待値を計算することで求めなさい。なお、nおよびkは十分大きいものとする。
という問題です。ちなみに、nに1000を入れると(ストレートのみの)ナンバーズ3、10000を入れると(ストレートのみの)ナンバーズ4を変数を使って置き換えたものと同じになります。確率の数学の問題としては意外とまともな問題になったと思います。なお、口数を固定する意味はないのですがなんとなくです。
