ちょっとした数学の遊び。解けるかな?

今後やりたいことも含めてちょっとした数学で遊んでみます。問題自体は単純ですので、遊び半分でやってみてください。有名な話からちょっと難しいやり方までです。難易度としては中学生レベルの問題です。後の証明系問題は高校生まで行った方がわかりやすいかも。もしこういう問題を教えるようになる立場になったときに出してみたいな~と思っていた問題ですが、ちょっと書いてみます。

 

恐怖の30という遊びについて

昔よくやったものです。小学生くらいの時にやった遊びの一種でまあ調べれば出てきます。ルールとしては

  1. プレーヤーは先手、後手の二人
  2. まず、先手は1から始まる3つまでの連番数を言う([1]、[1,2]、[1,2,3]のいずれか)
  3. 後手番は先手が最後に言った次の数から3つまでの連番数を言う(先手が[1,2]だった場合は[3]、[3,4]、[3,4,5]のいずれか)
  4. 先手番は後手が最後に言った次の数から3つまでの連番数を言う
  5. この動作を先手番と後手番で交互に行う
  6. 最後に30を言わされた方が負け(つまり29を最後に言った方が勝ち)

という簡単なルールです。ルールから見れば分かりますが二人零和有限確定完全情報ゲーム(二人で行う運の要素がないゲーム)となります。

で、ここで問題。このゲーム、「先手必勝」「後手必勝」のどちらでしょうか?

意外と有名な話なのでここまではどちらになるか?というのはかなりの人が数学の授業中などに聞いたがあるかもしれません。その場合は「そんなよく知られている問題を出して、馬鹿みたいだな」とでも思ってください。中学生レベルであればどちらであるか証明できるようになってください。

 

これを拡張して「恐怖のn」をやってみる

ルールは以下の通りです。

  1. プレーヤーは先手、後手の二人
  2. まず、先手は1から始まるm個までの連番数を言う
  3. 後手番は先手が最後に言った次の数からm個までの連番数を言う
  4. 先手番は後手が最後に言った次の数からm個までの連番数を言う
  5. この動作を先手番と後手番で交互に行う
  6. 最後にnを言わされた方が負け

見て分かるとおり、単に恐怖の30で定数となっている部分(一度に進めることができる数、負けとなる数)を文字に置き換えたものです。

それでは、以下の問いに答えてみてください。

  1. 後手番がn,m双方を決めることができる場合、後手必勝となるためにはこれらにどのような関係がなければならないか。
  2. 先手番がmを、後手番がn(>2m)を決めることができる場合、このゲームは先手必勝、後手必勝、もしくは引き分けのいずれであるか。
  3. 先手番がnを、後手番がm(<n/2)を決めることができる場合、このゲームは先手必勝、後手必勝、もしくは引き分けのいずれであるか。

ちょっとした証明問題のようなものです。普通に高校生レベルなら回答できて当たり前だと思いますが・・・どうなのでしょうか?

 

答えはしばらく経ってから

答えについては適当な時期に書きます。出した当の本人が分からない、なんてことはもちろんありませんよ。そういう問題では全くないですからね~。まあ今週中ではありませんので。(blogを書いても見られないと意味がないのでしばらく放置です)

回答をしてくれた方には・・・何もできないですからね。コメントや記事にトラックバックでもつけて紹介してくれるとおもしろいかもしれません。

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