1=2の証明を破ってみよう

遊びです。本格的なものではありません。

あらかじめ言っておきますが、説明が間違っていた場合は後で修正すると思います。

面倒なことこの上ない

説明として間違っているものもあると思いますので参考までに。また、元々の問題についてはUncyclopediaのページにあるのでそちらを参考に。

本来はあくまで「ユーモラスな遊び」なのでまじめにやるたぐいのものではないのですが・・・

しかしまあ、ここまでうまく間違えた証明というのもおもしろいですね。

逆にここまで出せるのもすごいと思います。間違いを指摘するとき「どう間違えているか？」を文章に書くのも難しいですし。

おもしろそうなのが、たとえば数学教師になる前に(数学的に証明されているとされる証明の)すべての矛盾を指摘できないとまずいとか・・・。

というわけでがんばって書いてみた

実はいくつか抜けています。自分が授業でやったことのないものは除いています。

小学生でも理解できる証明

・四捨五入を利用した証明

四捨五入した値を等号で結んではならない(四捨五入した値はあくまで「対象の有効桁まで見たときにその値と見なす」という意味なので)

・あまりを利用した証明

割り算は商と余りが等しくても元の「割られる数÷割る数」は同じではない。

これはこの場合、どちらかの重さを等しくしたくてももう片方の重さは元の式の「割る数」に依存しているため等しいと見なせない。

(商が1で共通とするならあまりの1を商に結合すると商が異なる。あまりが1で共通とするなら商の1の重さは「2等分」と「4等分」で意味が異なる。)

・たし算を利用した証明

数列の極限を無視して扱っている(余っているはずの-1を数列の極限の中に埋め込んで「なかったこと」にしているため)

・かけ算を利用した証明

・わり算を利用した証明

等式の両辺を0で除算してはならない

・9で割る証明

循環小数を有限桁で打ち切って計算を行っている

中高生なら理解できる証明

・初等代数を使った証明

両辺を

$(a-b)=0$

で除算している。

・ひき算を利用した証明

両辺の平方根をとった時点で±のうち＋側の結果のみが残っている為不自然。

－側の結果をとると

$1-￥frac{3}{2}=-2+￥frac{3}{2}$

と両辺とも等しい。二乗して平方根をとることにより本来ないはずの答えを増やしている。

・連立方程式を利用した証明

そもそもこの場合 $x$ に何を代入しても両方の等式を満たすことはできない。

( $(A)$ の解は $x=2$ であり、 $(B)$ の解は $x=￥frac{17}{8}$ である)

そのため、連立方程式と仮定して演算を行えば等式が成り立たないのは明らか。

・絶対値を利用した証明

確かに

$|￥frac{1}{2}|=￥pm ￥frac{1}{2}$

ではあるが、それはあくまで

$|￥frac{1}{2}|=+￥frac{1}{2},-￥frac{1}{2}$

のように「二つの解がある」と言っているだけなのでこれらを等号で結ぶことはできない。

・階乗を使った証明

・階乗を使った証明その2

階乗記号をそのまま取り除いたり代数のように除算はできない。

階乗部分を計算した上で計算後の数値で比較しなければならない。

・組み合わせを利用した証明

組み合わせの数が同じでも組み合わせを求めるときに使った数は等しくない

( ${}_{n1}C_{r1} = {}_{n2}C_{r2}$ であっても $n1=n2$ ではないし $r1=r2$ ではない)

・背理法による証明

そもそも両辺に0を乗算することを等式の証明で行ってはならない。

・最大値を使った証明

「ゆえに」の後の説明が誤り。両方の式から「式が矛盾するため整数に最大の値というものは存在しない」となるはずが、

「両方の式は正しく成立する」としているため証明結果がおかしくなる

・三角関数を使った証明

sinを代数記号のように取り除くことはできない。

・対数を使った証明

対数が等しくても底が等しいとは限らない。

$\log_n~1~=~0~(n~>~0)$

なので、そもそもどのようなnを持ってきても等式が成立してしまうため

・虚数を使った証明

虚数の領域では指数を計算するときに通分などの処理を行うと結果が異なるためしてはならない

・指数を使った証明

$0^0$

という数は指数の定義上「計算できない」ことになっているため、それを持ち出すことはできない。

(せいぜい、そのようになる極限上で・・・を考えることくらい)

・複素数を使った証明

虚数の領域では指数を計算する場合、底が分数の形になっているとき分母に虚数があってはならない

・無限級数を使った証明

数列の極限を無視して扱っている

・無限連分数を使った証明

本来連分数にする必要がないものを連分数に見せかけることで同じに見えるだけ。

連分数を崩せば元の式に戻ってしまうため等式で結ぶことはできない。

・三角関数の逆関数を用いた証明

$￥tan(x)$ は定義域を決めない場合、

$￥lim_{x￥to 0} ￥tan(￥frac{￥pi}{2}+x)$ および $￥lim_{x￥to 0} ￥tan(-￥frac{￥pi}{2}+x)$

は値を定義できない。

また、定義域を $[-￥frac{￥pi}{2},￥frac{￥pi}{2}]$ とするならそもそも等式ではない。

(定義域を上記で設定すると $￥tan(-￥frac{￥pi}{2}) = -￥infty,￥tan(￥frac{￥pi}{2}) = ￥infty$ と考えられるため)

・Eulerの公式による証明

複素領域において対数関数は多価関数なので対数をとったときにこの形で無理に書くなら

$2i￥pi + 2in_1￥pi = 4i￥pi + 2in_2￥pi$ (n1,n2は任意の整数)

とおき、この後n1とn2は・・・となるだけである。

また、無理に1価関数Log(x)でかくと

$Log(e^{2i￥pi}) = Log(e^{4i￥pi})$

となり、これを計算すると

$1 = 1$

となるだけである。

・根号の累乗を用いた証明

Aは数値であるはずなのにAを式の状態そのものとして扱っているため等式を作ることはできない。

無限の状態を有限+無限と分割しているため値がおかしくなってしまう。

(ちなみに、本来はAは無限大となる)

・極限を使った証明

指数の性質により

$a^0 = 1 (a ￥not = 0)$

となるため、どのようなaを持ってきても等式は成立する。そのため、底が等しいとは限らない。

(対数を使った証明とほぼ同一)

・sinの極限を用いた証明

$￥sin ￥frac{￥pi}{6} = ￥frac{1}{2}$

の式の時点でそもそもsinの中にあるはずのxが見かけ上の除算により消去されているため極限は使われていない。この状態では

$￥sin x = x$ が成立しているような形になっているためこれは誤り。

・sinの微分を用いた証明

$￥left{￥sin(￥pi - ￥theta)￥right}’ = ￥cos(￥pi - ￥theta)$

で左辺の微分を行う場合は合成関数の微分法を用いて微分を行わなければならない。

・定積分を使った証明

limを積分記号内に移動できない・・・というより、積分と極限をとる順序は可換ではない

(ちゃんと突っ込まれているので何ともいえないが・・・)

・部分積分法を使った証明

確かに部分積分法の式のものは正しいが、

$g(x) = ￥frac{1}{f(x)}$

とすると、部分積分法を作った積の微分法の公式は

$(f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)$

となり、これを計算すると

$0 = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)$

となる。この状態で両辺を積分すると

$C = ￥int f’(x)g(x)dx + ￥int f(x)g’(x)dx$ (Cは任意定数)

となってしまう。つまり、部分積分法を使うとき、

$g(x) ￥not= ￥frac{C}{f(x)}$ (Cは任意定数)

でなければならない。

・留数定理を使った証明

複素積分を行う場合、例として留数定理を使用できる状態になると積分結果は留数の状態にのみ依存する。

このため、留数定理を使用する複素領域での線積分は結果が等しくても元の関数が等しいわけではない。

(基本的に定積分や線積分の値が等しくても元の関数が等しいわけではない)

そのため、分母の指数を比較することはできない。

・行列式を使った証明

絶対値の記号と行列式の記号を値の計算時には異なるように扱い、等式を作るときには同じと扱っている

・正三角形を利用した証明方法

最後の状態となったとき、辺BCを拡大すると同じ状態が現れるため「重なっている」わけではない。

(いわゆる「フラクタル」を使って状態をごまかしている)

・直角三角形を利用した証明方法

図の状態を確認してみると良いが、黄色の三角形と青色の三角形は傾きが異なっている。

(黄色の三角形の傾きは3÷8、青色の三角形は5÷13)

つまり、組み替える前も組み替えた後もどちらも「直角三角形ではない」

なので、組み替えれば状態が変わるのは当たり前。