数学は「考え方を学ぶ」ものではないかな~と考える

はてなダイアリーを使っていることからわかると思いますが基本的にはてなのトップページに来ている内容についてはいろいろとみています。で、その中でちょっと考えされる記事があったので二つほどあげて私の考えも書いておきたいと思います。

 

数学を勉強できなくなったので休学をすることに決めた – Diary over Finite Fields

「数学は役に立つ/立たない」について思うこと  – Imaginary & Imaginative

 

ちなみに下に書いている内容は上記2つの記事とはあまり関係がないかもしれませんのであしからず。

 

「面白い」と思う人と「訳がわからない」と思う人がはっきり出てしまう(と思う)

ちなみに私は一応工学側の人間(のつもり)なので数学とは少し遠い場所にいた・・・つもりなのですが。いろいろと勉強しまして純粋数学に関しても応用数学に関してもそれなりの知識を得た人間です。上の記事を書いているお二人は両人とも数学の修士課程のようですが、資金と暇があれば数学で修士をとりたいな~とは考えたことがあります。まあ、それは置いておいて。

個人的には数学はほかの学問に比べて妙に体系ががっちりとしていてある一部分だけを知りたい、と思ってもその基礎となる部分を掘り下げて理解しないと意味がほとんどとれないという性質が大きいと考えています。

例として一つあげますと、元々私が工学でやっていたのは情報系で特に暗号系に関して興味があったのでその部分に関する数学を勉強していたのですがはっきり言って訳がわからなかったです。RSA暗号もその一つでRSA暗号自体は基本情報技術者試験あたりにでも出てきそうなくらい一般的な暗号方式でプログラムとして実装する分にも計算方法は公開されているので多倍長整数が使えればそれほど難しいことはないです。・・・が、その根拠となっている理由を数学的に理解しようとするといったいどこまで基礎にたどればよいのかその時点では全くわからない状態でした。そのため情報工学としてRSA暗号を理解したときには「こういう方法を使えばうまくいくよ」程度の意味しかなかったです。

これがとある理由から代数学を基礎からやり直すことで群・環・体の定義からその定義より得られる各種定理、暗号系の基礎となる剰余環の話や中国剰余定理、オイラーの定理、体の拡張などに関して学ぶことで初めてなぜRSA暗号が成立していたのか、という話を理解することができました。これに関しても結局は代数学という数学の分野のある意味基礎となっているところからやっていたので理解するのは大変ですが理解できてしまえばかなり面白いな~というのは感じています。

ここで重要になるのは「そういう基礎の部分から学んでいく中でそれぞれの定理がどのような働きをしているかを見ることで自分の中で意味をつけていく」ことができるかどうか、またその行為に面白さを感じるかどうかが数学という分野における学習のモチベーションの一つになるのでは?というのが私の意見です。これは私は数学の分野のうち代数学、それも整数論を得意としておりその理由が「応用することで情報工学の分野につながっていることを知っており、それを自身のプログラムに今後生かせることがわかっているから」だったから面白いと考えて取り組めたのであり、単に代数学をなんとなくで学んでいると途中から体系の意味がとれなくなって・・・ということがありうる、ということでもあります。まあ、数学上の問題を計算機のプログラムとして表現して調べるということも好きなのも関係しているでしょうがね。

 

体系づけられているだけに「わからない」が拡大していってしまう

算数や数学で苦手意識を持つのはこのことが多いのでは?と思います。たとえば中学校だと正の数負の数は図形関係を除いてはその後でこれができないと全くといっていいほど理解ができなくなります。無理矢理負の数が出て来ないようにできるか?といわれるとおそらく不可能だと思います。で、わからないと問題が解けなくなる。解けなくなるとやる気を失ってしまうし先生からはしかられる。親からもテストの点数で怒られる。なんてことが連続していくといやになりますよね~。そうなれば「わかりません」の回答だけしかないですね。

もちろん、大学レベルでも同じだと思います。特に研究なんかで「自分が何を理解できていないか」を理解していないと進めないのはどの研究でも同じですが、数学としてそれがどのレベルの基礎なのかを考えられないとかなり厳しいと思います。

 

数学は学校教育として考えるなら「考えるための勉強」なんだろうな~と思う

数学は今現在自分が知っていることから拡張を自分自身で考えることができることができるのも特徴だと聞いたことがあります。たとえば1次方程式を学習した中学生なら「なら文字が増えたらどうなるのか?、1次じゃなくなったらどうなるのか」を(解けなかったとしても)考えることはできますし、2次方程式の解の公式を学習した後ならば「それ以上の次数になったときに解の公式はあるのだろうか」ということを興味がある人なら少しは考えることがあるものだと思います。これは数学に興味を持っている人が考えることかもしれませんがもちろん普通の問題でも「どうすれば自分が知っている(あるいは簡単な)計算方法に持って行くことができるだろうか」ということを考えて解くことは多いと思います。これらは暗記系ではあまりない発想だと思います。教えるときでも間違っていてもいいから一度問題をやってみて先生がやり方について解説する、なんてパターンはよくある話ですし、こういうところがその性質をよく持っているのでは、と思いました。

 

そういえば誰かから聞いたことがありますが一言だけ名言を。

大学の学問では理科は数学となり数学は哲学となる

特に純粋数学を突き詰めていくといつの間にか哲学の領域に突っ込んでいくんですよね・・・。有名なのが「(自然数において)なぜ1+1=2なのか」ですか。これもペアノの公理が成立しているなら・・・、とかいう話になってきますからね。ちなみにペアノの公理が成立していない環境ならば1+1=2とはなりません。これは私の過去記事でも書きましたので興味がある方は一度見てみるといいかもしれません。

まあいろいろと考えることがあるとは思います。上で紹介した記事の方で前者の方は一度休学するようですので(私などが言うのもおこがましいことかもしれませんが)休学の期間でいろいろなことを見てくるとよいと思いますのでどうするにしても頑張ってほしいと思います。

 

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