数学的にでも「1+1=2」とは限らない・・・

ちょっととある場所で話題になっていた小学生などで「なぜ1+1=2となるのか?」に対して頑張って回答していた人がいましたのでその人に向けて追記を一つ。それは数学的にまじめに考えたときに実は「1+1=2」とは限らない、ということです。

 

こいつはいったい、ど、どういうことだ?

ギャグではありませんよ。数学的にそういうことができる状態は普通に存在します。それはどういう状態かというとこれらを定義しているのが剰余環(この場合は体)となるや体の拡大で現れる(qは自然数)である場合です。を考えると小学生がわかるように演算規則を書くなら(正確な定義とはちょっと違いますが計算方法は同じなので目をつぶってください)

0と1のみを使って行う演算で四則演算を行うときは整数(小学生風にいうなら普通の数)だと思って演算を行った後演算結果が偶数になったら0、奇数になったら1とする。つまり演算後に2で割ったあまりを取ってその結果を演算結果とする

とします。こうすると実は四則演算において演算結果はすべて正しく定まります。で、こうすると「1+1」の結果は・・・0になるわけです。つまり「1+1=2」とならない演算が大まじめな数学上で存在しています。

このあたりは環や体の話で出てくるので大学で代数学を学んでいれば当たり前だと思います。また情報系であれば「2進数の演算を考えると・・・」でも意味が通じるのではないでしょうか。ちなみにこんな演算どこで使うか?というと符号理論や暗号理論で使います。そのためとても重要なものでもあります。

 

そもそも前提が共有されていないからこんなことが起こる

上の例は端的な例ですが、もっと一般的なことをいうと「1+1」という式を考えるとこんな状態であれば数学的には(これ以上考えることに意味がなくても)有効です。

  • 左辺の「1」はある集合Aの元である。
  • 右辺の「1」はある集合Bの元である。(このとき、BとAに関連性はあってもなくてもよい)
  • 演算子の「+」は集合Aの任意の元aと集合Bの任意の元bに対してある集合Cに対して定まる写像である。(このとき、CとA,Bに関連性はあってもなくてもよい)

小学生の場合、「1+1」の演算を行う場合、算数などの通常であれば以下が暗黙に定まります。

  • 左辺の「1」および右辺の「1」は自然数の集合である
  • 演算子の「+」は上記の集合に対してペアノの公理が定まっているためそれによって定まる写像とする

ということで算数上では「1+1=2」が導かれます。が、ひねくれるとこんなことができます。

  • 左辺の「1」および右辺の「1」は自然数の集合である
  • 演算子の「+」は二つの自然数から漢字の集合Kに対する写像であり、この写像をfと書くとき「f(1,1)=”田”を満たす」とする
  • 以上のように定義を行うと数学的には「1+1」に対して「田」という回答が有効になる場面を作ることができる

ということでなんと数学的に間違いとはいえない状態で「1+1=」に対して小学生でよくからかわれる演算結果「田」が正しい、という状態を作ることができてしまったわけです。なお、だからといってこのとき他の演算結果については「知りません」もしくは「適当に定めてください」としか回答しようがありません。まあ、左辺の集合と右辺の集合をもう少し絞ればなんか有効な演算となるかもしれませんがそれに意味があるかどうかは私も知りません。

 

という無駄知識をあなたへ

なので、無理矢理ですが「1+1の結果は大きな1だ」とすることは不可能ではありません。その場合は「じゃあ他の計算結果はどうすればいい?」と返してみるとその子の考え方が見えるのではないでしょうか。もしかすると数学の天才への第一歩なのかもしれませんね。


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