今回の話は一応私なりの回答は持っています今回は示しません。で、皆さんに考えさせる資料として学習指導要領解説からこの問題にアプローチしてみたいと思います。
元々の問題は
togetterの算数の問題「円周率を3.14とするとき、半径11の円の面積を求めよ」の解を379.94とするのは誤り？ より。今までの論議を見ていると理科的な考えと数学的な考えとが入り交じって大変なことになっているように見えます。個人的に間違いとする人たちは理科的な視点が強めのように見えますし・・・。
で、この話に学習指導要領からアプローチして学校教育上でどのように考えられているか見ていきます。これは教育的な見方なので数学的な見方や理科的な見方はかなり少なくなっていることに注意しましょう。
まず有効数字の考え方について
有効数字の考え方は科学を考える上ではデータの信頼性などの問題もあり重要です。それはいいのですが、その有効数字が小学校の算数でどこまで扱われているのか、というのを先に見ておかないと議論がおかしくなります。
一部には「4年生で概数の概念を学習しているのでわかるはず」ということなのですが、ここでは有効数字という言葉はなく、概数により状態を見積もることができるようになる、その場合にどのくらいの桁まで概数とするのかを考えさせる、が主題になっています。一応算数的活動の中で「目的に応じて計算の結果の見積もりをし、計算の仕方や結果について適切に判断する活動」はありますが、これは(四捨五入ではなく)値をわざと大きく見積もって計算をすると範囲内に収まっているから実際の計算でも収まるだろう、という活動なので円周率の有効数字に関する考えには用いることは難しいと思います。もし用いることができたとしてもそれは「円周率を3.14とすると真の値より小さくして計算しているので計算結果は少し大きくなることを頭に入れておく必要があるよ」くらいでしょうか。
円周率について
つぎはこちら。円周率については5年生で学習します。円に関して直径の長さと円周の長さの関係として求める物で、その関係を推測させて、という話です。この中では「円周の長さは直径の3倍より大きく、4倍より小さい」ということを学習します。ここまでは解説されていましたが、円周率がどんな値になるかはどうも指導対象になっていないようです。学習指導要領には「円周率は3.14を用いるものとする」なので、おそらくいきなり「円周率=3.14となる」と学習することになるのでは、と思います。教科書によっては具体的には3.14というきっちりした数字ではなく・・・という書き方をするのでしょうが。
ということは、「円周率を3.14とするのは概数ではなく算数として計算する上での定義値である」ととらえるのが自然ではないでしょうか。もちろん、これは(上級の)数学や理科ではそれぞれの領域で考え方があるので直してください、となるわけですが、小学校の算数の上ではこれでもよい、となっているようですね。この考え方はこの後の円の面積の解説にも表れます。
円の面積について
円の面積については6年生で学習します。学習指導要領で要求していることは「円の面積の求め方を考えること」なので、円の面積の公式についてどう扱うかは教科書次第になる可能性もあります。実際、学習指導要領解説では円の面積の考え方として
- 方眼紙の上に円を描いて正方形の数を数えさせることで円の面積を考えてみる
- 円を2n等分して組み合わせると平行四辺形もどきができあがるのでそれから円の面積の公式「らしい」ものを考えてみる
があげられています。それをやった後でどうも円の面積は「直径×円周率÷2×半径=半径×半径×円周率」の公式ができあがるね、とつながっているらしいです。
ここからが重要で、学習指導要領解説にある円の面積と円周率を3.14とすることについての見解については
「円周率は3.14を用いるものとする」と示している。これは、生活や学習では一般に3.14を用いれば、多くの場合十分だからである。
となっています。つまり生活を送る上で必要となる算数において有効数字がどうのこうのではなく、「計算できること」と「真の値に対しての差が(生活上)問題ないこと」が満たされることが重要である、ということでこの話を閉じているのだと思われます。まあ、算数はどちらかというと計算能力や数学的な物の見方の基礎を学習するものなので、それができることを優先するのが当たり前といえば当たり前なのですが。
流れを通して学習指導要領(解説)のスタンスを考えてみると
おそらく「算数を学習する上では上記の問題に対して379.94とするのは、ここまで計算できていれば計算能力的には問題ないことと、実生活でこの値を用いても十分だ」ということではないでしょうか。もし概数の考え方を用いたとしても結局は「半径11の円の面積は379.94より少し大きくなる」が解答となる、といったところではないでしょうか。無理矢理数学的に問題を解釈するなら
円の面積は(暗黙的に)半径×半径×円周率で計算できるものとする。ここで円周率は3.14という値であると定義されているものとする。以上の仮定に基づくとき、半径11の円の面積はどのように計算され、その結果はどうなるか、解答せよ。
といったところでしょうか。