1=2の証明を破ってみよう 追記編?

二年ほど前に書いた記事ですが、今見てみるといろいろと詰めが甘いな~と思っていましたので追記っぽいことをしてみたいと思います。これのために(え?)いろいろと勉強しましたので、ちょっとはましな解説になっていると思います。元々は何度も書いていますがUncyclopediaのページより引っ張ってきています。日本語版のページはすごいのに英語版はすでに差除されているっぽい、というユニークな記事となっている模様です。しかし、個人的に思うのはこんなイカサマ証明をよくもまあ考えつく物だな~と思います。

 

今回の追記点は?

定積分を使った証明で一言だけになっていたポイントと区分求積法の誤っているポイントを指摘してみたいと思います。一番追記&修正しやすい項目ですので。

 

定積分を使った証明の間違い

前の記事では単に「limを積分記号内に移動できない・・・というより、積分と極限をとる順序は可換ではない」と書いていましたがこれは正しくはありません。入れ替えることができる条件があり、それは「積分と極限を取る動作を入れ替えることができるのは被積分関数が一様連続である」という条件になります。この「一様連続」という言葉は高校数学レベルでは絶対に出てこない概念ですので私も知らなかったのですが・・・。で、厳密にやるとこんな感じ。

対象の関数はとなっている。この関数は二変数関数なので一様連続性はそれぞれの変数において考える必要がある。xの関数としてはこの関数は一様連続であるがtの関数としては一様連続ではない(xを定数とすると一様連続性を仮定すると矛盾が出る)。よって、この関数に対して積分と極限の動作を入れ替えることはできない。この定積分を使った問題ではtの領域において入れ替えが起こっているため、これは間違いである。

という形になるでしょうか。

 

区分積分法を使った証明の間違い

証明の間違いを言うだけなら実は高校生でもできます。・・・が、たぶん「積分の定義」についてどのように教えられているかでこれが正しいとか間違いとか指摘できる割合が変わってくると思います。定積分から入って不定積分に抜ける場合は指摘されやすいと思いますが、不定積分から入って定積分に抜けると「あれ?」と思うと思います。ちなみに区分積分法を突き詰めるとリーマン積分に行き着きます。これが要点。で、厳密にやるなら

区分積分法(リーマン積分)を考えるときには被積分関数は積分範囲において連続でなければならない。ところが、被積分関数はディリクレ関数であり、これは至る所で不連続な関数である(厳密に証明するには大学数学レベルの連続性の定義が必要であるがここではそれは置いておく)。よって、この関数に対して区分積分法を用いることはできない(値を求めることはできない)。なお、ディリクレ関数に対して積分を考えるにはルベーグ積分を考えることで求めることができる。この場合、被積分関数はほとんど至るところで0を取る関数であるからどのような範囲で積分を行ってもこの関数のルベーグ積分での値は0となる。

ですか。測度論が必要になるので一般の人には受け入れにくい話ですね。しかも積分については高校生でもやりますが、この関数を積分するためにはかなり上位の数学が必要なので世間一般のほとんどの人はこの証明であればおかしいとは思わないでしょうね・・・。

 

こんな問題をユーモラスに考えてみたいかも

中学校や高校の数学の遊びとしては最高のネタのような気がしますが・・・どうでしょうかね。問題は先生の方が正しく説明できないと授業のネタにできないことですか。

 

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