サンタクロースは存在するのか?を数学的(集合論的)に考えてみる

久しぶりの数学ネタ+時期を考えてのクリスマスネタです。仕事の面でもプライベートの面でも忙しかったので記事を書く暇が無かったのですが、年末にかけてやっと落ち着いてきましたのでちょっとこれを考えてみたいと思います。題名にもありますとおり「数学的に」です。文学的な論争に入る気も無いですし、記号自体は大学レベルの物を使用しますが、議論そのものは数学が分からなくても分かる様に書くつもりです。

サンタクロースは存在する、を数学的に書いてみる

数学をやっている大学生なら分かるよね?というわけでこの問題。これが書けないと議論が始まりません。というわけで書いてみます。一応仮定として「サンタクロース」の集合(これが後で議論対象となるのだが)をSとします。このとき、

サンタクロースは存在する

となります。つまり、「サンタクロース」の集合が空でない、が同値(同じことを言っている)となります。これで考えるお題は「サンタクロースの集合」という物がどういう物であるか、に移ります。

「サンタクロースの集合」とはどのような物なのか?

次に考えるべきはこれです。「サンタクロースの集合」といっても複数の定義があり、これをちゃんと定義しないと後で大混乱を招くことになります。実際の議論でも「存在する」「存在しない」にはこのあたりからの定義の仕方が各個人で異なってしまうために起こってしまう現象でもあります。

私がもしこれを定義するなら以下の三つをまず考えます。

  • サンタクロースの集合S={x|xはサンタクロースである}
  • サンタクロースの集合S={x|xはサンタクロースと呼ばれている(状態である)}
  • サンタクロースの集合S={x|xはサンタクロースという職業である}

それぞれちょっとずつ違いますよね。英語で言うと「is」「is called」「works … as」の構文の差です。記号の意味としてはすべて「~である人(この場合は動物でも可)を集めてきた物がサンタクロースの集合である」という意味です。どれも「サンタクロースの集合」としては妥当な物だと思われます。

このレベルで考えてみても「存在する」「存在しない」に差が生まれているのは何となく分かると思います。ただ、この段階では定義がもう一つ欠けています。それが、

「サンタクロース」とはどのような物なのか?

これを定義しないと上の集合が正しく定義できません。つまり、世間一般で「サンタクロース」と言われるためにはどんな状態でなければならないか(サンタクロースとは何をもって定義するのか)を考える必要があります。よく言われているサンタクロースのイメージは

  1. 俗に言うサンタ服を着ている
  2. 白いひげを生やしたおじさんorおじいさん
  3. (12/24の夜に)そりを引いているトナカイに乗って来る(空を飛んでいるかどうかは不明)
  4. (12/24の夜に)プレゼントを置くために煙突から家に入ってくる
  5. (12/24の夜に)寝ている枕元にある靴下などに自分が望んでいるプレゼントを置く

でしょうか。不足しているものもあるかも知れませんがこの先の議論にはあまり関係がありません。問題になるのは「このうちのすべての要素を満たさなければサンタクロースとならないのか?」にあります。昔だったら「家に煙突はないからこの家にサンタクロースが来ることはないんですよ」という言葉が聞かれた時期もあるようですが・・・。

これらを考えた上でサンタクロースは存在するのかしないのか、を考えると議論としては楽しいと思います。

で、存在するのか?

それぞれの条件によってだいぶ異なりますよね。たとえば

  • サンタクロースの集合S={x|xはサンタクロースと呼ばれている(状態である)}を選択する
  • サンタクロースの定義としてイメージのうち1,2,5が成立すればサンタクロースと定義する

であれば、サンタ服と付けひげをつけた自分の父親が子供の枕元にプレゼントを置けば自分の父親(自分の父親はSの要素のうちの一つである)となり、「サンタクロースは存在する」と言うことになりますし、ほかにも

  • サンタクロースの集合S={x|xはサンタクロースという職業である}を選択する
  • サンタクロースの定義としてイメージのうち1,2,3,5が成立すればサンタクロースと定義する

とした場合でもたとえばフィンランドでサンタクロースの活動をしている人を考えればこの定義を満たす人もいると思われますのでその人(その人はSの要素のうちの一つである)となり、「サンタクロースは存在する」と言うことになります。もう一段階厳しくなると

  • サンタクロースの集合S={x|xはサンタクロースである}を選択する
  • サンタクロースの定義としてイメージはすべて満たした物だけをサンタクロースと定義する

だと「煙突から入る」などほぼあり得ない物まで混じることになりますので「サンタクロースは存在しないのでは?」という話になります。まあ現代日本にはこの条件に当てはまる人はたぶんいないですね。

理詰めでつまらないかも知れませんが

サンタクロースを信じるにしてもどういう定義なのかによって信じ方が変わってくるのもおもしろいところですね。こんな物を書いている時点で私に夢がなさ過ぎる、といわれればそれまでかも知れません。集合論を少し使った数学遊びでした。個人的には「職業である」+「煙突から家に入る、を無効にする」の条件であれば存在はできるよね~と思っていたり。


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